Перевірити, що вектори утворюють базис на площині. Знайти координати векторів в цьому базисі.

Два вектори і прикладені до однієї точки. Знайти координати вектора , направленого по бісектрисі кута між векторами і , при умові, що

Знайти довжину висоти трикутної піраміди ABCD, опущеної з вершини D на грань ABC. A(2;2;2), B(4;3;3), C(4;5;4), D(5;5;6).

Вектори співпадають зі сторонами трикутника АВС. Визначте координати векторів, прикладених до вершин трикутника і які співпадають з його медіанами АМ, ВН, СР.

Вектор , перпендикулярний до векторів утворює з віссю OY тупий кут. Знайти його координати, знаючи, що

Знайти матриці переходу від базису до базису простору а також координати вектора в кожному з базисів.

Побудувати паралелограм на векторах . Визначити гострий кут між діагоналями паралелограма.

Задані вектори i . Необхідно: 1) обчислити скалярний добуток векторів 2) знайти модуль векторного добутку векторів 3) з'ясувати колінеарність і ортогональність векторів 4) переконатись, що вектори утворюють базис; 5) знайти координати вектора у цьому базисі.

Показати, що вектори утворюють базис, і знайти розклад вектора по базису .

Задані чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD.  Довести, що .

Задані координати вершин піраміди Необхідно знайти: 1) довжину ребра А₁А₂; 2) кут між ребрами А₁А₂ і А₁А₄; 3) кут між ребром А₁А₄ і гранню А₁А₂А₃; 4) площу грані А₁А₂А₃; 5) об'єм піраміди;  6) рівняння прямої А₁А₂;  7) рівняння площини А₁А₂А₃; 8) рівняння висоти, опущеної з вершини А₄ на грань А₁А₂А₃. Зробити малюнок, якщо А₁(1;2;1), А₂(3;-1;7), А₃(2;0;2), А₄(7;4;-2).

Довести рівності : a)  б)  і з'ясувати їх геометричний зміст.

Дано :  Обчислити .

Яким умовам мають задовільняти вектори  щоб мали місце наступні співвідношення : а)  б)  в) .

У рівнобедреній трапеції OACB кут - середини сторін ВС і АС. Виразити вектори  через  - одиничні вектори напрямків   .

У трикутнику ABC вектор  і вектор . Побудувати наступні вектори : а)  б)  в)  г) .

Пряма, що проходить через середини M i N протилежних сторін AB i CD чотирикутника ABCD, проходить через точку перетину О його діагоналей. Довести, що чотирикутник - трапеція або паралелограм.

Знайти проекцію вектора на вісь L, яка утворює з координатними осями кути .

Дано два трикутники . Виразити вектор  що з'єднує точки перетину медіан цих трикутників через вектори .

Дано два трикутники і Виразити вектор що з'єднує точки перетину медіан цих трикутників через вектори .

М - точка перетину медіан трикутника АВС, О - довільна точка простору. Довести рівність : .

У трикутнику АВС : . 1) При якому співвідношенні між  вектори  колінеарні?  2) Нехай  такі, що вектори  не колінеарні. Вважаючи  виразити вектори  через .

Через дві протилежні вершини паралелограма проведені прямі, які перетинають його сторони або їх продовження у чотирьох точках. Довести, що ці точки є вершинами трапеції або паралелограма.

ABCDEF - правильний шестикутник, причому . Виразити через вектори , і .

Точки K i L є серединами сторін  паралелограма ABCD. Виразити вектори через вектори .

 медіани трикутника ABC.  Виразити через  вектори .

Відомі координати вершин А(4,1) і В(3,-2) трикутника АВС і координати його центроїда G(0,2). Знайти координати третьої вершини С трикутника.

На стороні АВ трикутника АВС взято точку D так, що пряма CD - бісектриса кута при вершині С. Виразити через  наступні вектори: .

Знаючи вершину А(1; 1; 1) квадрата ABCD, його центр О(0; 0; 0) і вектор  перпендикулярний площині квадрата, знайти решту його вершин.

З точки О виходять два вектори . Знайти довільний вектор  що йде по бісектрисі кута АОВ.