Побудувати паралелограм на векторах . Визначити гострий кут між діагоналями паралелограма.

Задані вектори i . Необхідно: 1) обчислити скалярний добуток векторів 2) знайти модуль векторного добутку векторів 3) з'ясувати колінеарність і ортогональність векторів 4) переконатись, що вектори утворюють базис; 5) знайти координати вектора у цьому базисі.

Показати, що вектори утворюють базис, і знайти розклад вектора по базису .

Задані чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD.  Довести, що .

Дано чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD. Довести, що .

Задані координати вершин піраміди Необхідно знайти: 1) довжину ребра А₁А₂; 2) кут між ребрами А₁А₂ і А₁А₄; 3) кут між ребром А₁А₄ і гранню А₁А₂А₃; 4) площу грані А₁А₂А₃; 5) об'єм піраміди;  6) рівняння прямої А₁А₂;  7) рівняння площини А₁А₂А₃; 8) рівняння висоти, опущеної з вершини А₄ на грань А₁А₂А₃. Зробити малюнок, якщо А₁(1;2;1), А₂(3;-1;7), А₃(2;0;2), А₄(7;4;-2).

Довести рівності : a)  б)  і з'ясувати їх геометричний зміст.

Дано :  Обчислити .

Яким умовам мають задовільняти вектори  щоб мали місце наступні співвідношення : а)  б)  в) .

У рівнобедреній трапеції OACB кут - середини сторін ВС і АС. Виразити вектори  через  - одиничні вектори напрямків   .

Знайти довжину вектора якщо - ортогональні орти.

У трикутнику ABC вектор  і вектор . Побудувати наступні вектори : а)  б)  в)  г) .

Пряма, що проходить через середини M i N протилежних сторін AB i CD чотирикутника ABCD, проходить через точку перетину О його діагоналей. Довести, що чотирикутник - трапеція або паралелограм.

Дані вектори Знайти: а) б) в) пр г) орт вектора .

Вектори утворюють кут 120^о і Обчислити .

За координатами точок А(1,-1,2), В(1,4,-3), С(5,1,0) визначити: модуль вектора скалярний добуток векторів проекцію вектора на вектор координати точки М, яка ділить відрізок l = AB у відношенні 1:3.

Дано два трикутники і Виразити вектор що з'єднує точки перетину медіан цих трикутників через вектори .

М - точка перетину медіан трикутника АВС, О - довільна точка простору. Довести рівність : .

Нехай АВС - довільний трикутник, AA₁, BB₁ i CC₁ - його медіани. Взявши вектори відповідно за базисні знайти координати векторів .

Довести, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в цьому базисі, де .

Знайти центр ваги однорідного стержня, зігнутого під деяким кутом, якщо довжини його частин рівні відповідно a i b.

У трикутнику АВС : . 1) При якому співвідношенні між  вектори  колінеарні?  2) Нехай  такі, що вектори  не колінеарні. Вважаючи  виразити вектори  через .

Через дві протилежні вершини паралелограма проведені прямі, які перетинають його сторони або їх продовження у чотирьох точках. Довести, що ці точки є вершинами трапеції або паралелограма.

Знайти вектор направлений по бісектрисі кута між векторами якщо .

До вершини куба прикладено три сили, рівні по величині відповідно 1, 2, 3 і напрвлені по діагоналях граней куба, що виходять з однієї вершини. Знайти величину рівнодіючої цих трьох сил.

Точки A(1;1), B(0;-3), C(2;2) - вершини трикутника. Знайти довжину медіани АК і координати точки М перетину медіан трикутника АВС.

Задані координати чотирьох точок у просторі A₁(2;3;1), A₂(4;1;-2), A₃(6;3;7), A₄(-5;-4;8). Необхідно: 1) записати вектори у базисі знайти модулі цих векторів і їх напрямні косинуси; 2) знайти косинус кута між векторами 3) знайти проекцію вектора на напрям вектора 4) довести неколінеарність векторів знайти площу трикутника A₁A₂A₃ , його висоту з вершини A₂ ; 5) довести некомпланарність векторів знайти об'єм піраміди A₁A₂A₃A₄, її висоту з вершини A₄ на грань A₁A₂A₃.

ABCDEF - правильний шестикутник, причому . Виразити через вектори , і .

У трикутнику АВС відомі сторони a, b, c  і медіани p, q, l. Довести рівність: .

Дано вектори де - базис. Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора у базисі .