Векторна алгебра

Лінійна алгебра, вектори.
Декартова система координат
Лінійні операції над векторами.
Лінійна залежність. Базис.
Прямокутна декартова система координат.
Скалярний добуток векторів.
Уточнити пошуковий запит
Вектори співпадають зі сторонами трикутника АВС. Визначте координати векторів, прикладених до вершин трикутника і які співпадають з його медіанами АМ, ВН, СР.
Вектор , перпендикулярний до векторів
утворює з віссю OY тупий кут. Знайти його координати, знаючи, що
Знайти матриці переходу від базису до базису
простору
а також координати вектора
в кожному з базисів.
Побудувати паралелограм на векторах . Визначити гострий кут між діагоналями паралелограма.
Задані вектори i
. Необхідно: 1) обчислити скалярний добуток векторів
2) знайти модуль векторного добутку векторів
3) з'ясувати колінеарність і ортогональність векторів
4) переконатись, що вектори
утворюють базис; 5) знайти координати вектора
у цьому базисі.
Показати, що вектори утворюють базис, і знайти розклад вектора
по базису
.
Задані чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD. Довести, що
.
Задані координати вершин піраміди Необхідно знайти: 1) довжину ребра А1А2; 2) кут між ребрами А1А2 і А1А4; 3) кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3; 4) площу грані А1А2А3; 5) об'єм піраміди; 6) рівняння прямої А1А2; 7) рівняння площини А1А2А3; 8) рівняння висоти, опущеної з вершини А4 на грань А1А2А3. Зробити малюнок, якщо А1(1;2;1), А2(3;-1;7), А3(2;0;2), А4(7;4;-2).
Довести рівності : a) б)
і з'ясувати їх геометричний зміст.
Дано : Обчислити
.
Яким умовам мають задовільняти вектори щоб мали місце наступні співвідношення : а)
б)
в)
.
У рівнобедреній трапеції OACB кут - середини сторін ВС і АС. Виразити вектори
через
- одиничні вектори напрямків
.
Знайти довжину вектора якщо
- ортогональні орти.
У трикутнику ABC вектор і вектор
. Побудувати наступні вектори : а)
б)
в)
г)
.
Пряма, що проходить через середини M i N протилежних сторін AB i CD чотирикутника ABCD, проходить через точку перетину О його діагоналей. Довести, що чотирикутник - трапеція або паралелограм.
Знайти проекцію вектора на вісь L, яка утворює з координатними осями кути
.
Вектори утворюють кут 120о і
Обчислити
.
Дано два трикутники . Виразити вектор
що з'єднує точки перетину медіан цих трикутників через вектори
.
Дано два трикутники і
Виразити вектор
що з'єднує точки перетину медіан цих трикутників через вектори
.
М - точка перетину медіан трикутника АВС, О - довільна точка простору. Довести рівність : .
У трикутнику АВС : . 1) При якому співвідношенні між
вектори
колінеарні? 2) Нехай
такі, що вектори
не колінеарні. Вважаючи
виразити вектори
через
.
Через дві протилежні вершини паралелограма проведені прямі, які перетинають його сторони або їх продовження у чотирьох точках. Довести, що ці точки є вершинами трапеції або паралелограма.
Знайти вектор напрвлений по бісектрисі кута
між векторами
якщо
.
До вершини куба прикладено три сили, рівні по величині відповідно 1, 2, 3 і напрвлені по діагоналях граней куба, що виходять з однієї вершини. Знайти величину рівнодіючої цих трьох сил.
Точки A(1;1), B(0;-3), C(2;2) - вершини трикутника. Знайти довжину медіани АК і координати точки М перетину медіан трикутника АВС.
Задані координати чотирьох точок у просторі A1(2;3;1), A2(4;1;-2), A3(6;3;7), A4(-5;-4;8). Необхідно: 1) записати вектори у базисі
знайти модулі цих векторів і їх напрямні косинуси; 2) знайти косинус кута між векторами
3) знайти проекцію вектора
на напрям вектора
4) довести неколінеарність векторів
знайти площу трикутника A1A2A3 , його висоту з вершини A2 ; 5) довести некомпланарність векторів
знайти об'єм піраміди A1A2A3A4, її висоту з вершини A4 на грань A1A2A3.
ABCDEF - правильний шестикутник, причому . Виразити через
вектори
,
і
.
Дано вектори де
- базис. Показати, що вектори
утворюють базис, і знайти координати вектора
у базисі
.
Задана трійка векторів Довести, що ця трійка векторів утворює базис в V3. Обчислити координати вектора
в цьому базисі.
Точки K i L є серединами сторін паралелограма ABCD. Виразити вектори
через вектори
.