Задані вектори i . Необхідно: 1) обчислити скалярний добуток векторів 2) знайти модуль векторного добутку векторів 3) з'ясувати колінеарність і ортогональність векторів 4) переконатись, що вектори утворюють базис; 5) знайти координати вектора у цьому базисі.

Дано чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD. Довести, що .

Задані координати вершин піраміди Необхідно знайти: 1) довжину ребра А₁А₂; 2) кут між ребрами А₁А₂ і А₁А₄; 3) кут між ребром А₁А₄ і гранню А₁А₂А₃; 4) площу грані А₁А₂А₃; 5) об'єм піраміди;  6) рівняння прямої А₁А₂;  7) рівняння площини А₁А₂А₃; 8) рівняння висоти, опущеної з вершини А₄ на грань А₁А₂А₃. Зробити малюнок, якщо А₁(1;2;1), А₂(3;-1;7), А₃(2;0;2), А₄(7;4;-2).

Дані вектори Знайти: а) б) в) пр г) орт вектора .

За координатами точок А(1,-1,2), В(1,4,-3), С(5,1,0) визначити: модуль вектора скалярний добуток векторів проекцію вектора на вектор координати точки М, яка ділить відрізок l = AB у відношенні 1:3.

Нехай АВС - довільний трикутник, AA₁, BB₁ i CC₁ - його медіани. Взявши вектори відповідно за базисні знайти координати векторів .

Довести, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в цьому базисі, де .

Задана прямокутна трапеція ABCD, довжини основ якої AD i DC відповідно рівні 4 і 2, а кут D рівний 45^о. Знайти проекції векторів на вісь l, яка визначається вектором .

Знайти центр ваги однорідного стержня, зігнутого під деяким кутом, якщо довжини його частин рівні відповідно a i b.

Знайти вектор направлений по бісектрисі кута між векторами якщо .

До вершини куба прикладено три сили, рівні по величині відповідно 1, 2, 3 і напрвлені по діагоналях граней куба, що виходять з однієї вершини. Знайти величину рівнодіючої цих трьох сил.

У трикутнику АВС відомі сторони a, b, c  і медіани p, q, l. Довести рівність: .

Дано піраміду ABCD з вершинами в точках піраміди A(1;0;4), B(2;7;3), C(4;0;-1), D(2;8;-1). Знайти:  а) довжину ребра АС;  б) площу перерізу, що проходить через середину ребра ВС і вершини A, D; в) об'єм піраміди ABCD/

Побудувати трикутник, якщо задані середини його сторін: M₁, M₂, M₃.

У трикутнику ABC на сторонах AB i BC вибрано точки K та L так, що AK=2KB, BL=LC? а також проведено вдрізки AL i CK, які перетинаються у точці D. У якому відношенні точка D ділить дані відрізки?

У паралелограмі ABCD точки E і F середини відповідно сторін BC i DC. Довести, що прямі AE i AF ділять BD на три рівні частини.

Знайти кут, утворений одиничними векторами якщо відомо, що вектори і перпендикулярні.

Точки поділяють сторони трикутника ABC у відношенні m:n. Довести, що центри мас трикутників АВС і А₁В₁С₁ співпадають.

У трикутнику АВС точка H - точка перетину висот. Відомо, що Знайти координати вектора .

У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ AD = 1, AB = 2, AA₁ = 3. Знайти кут між мимобіжними прямими AC₁ i B₁D₁.

Знайти проекцію вектора на вектор, що утворює однакові тупі кути з осями координат.

На осі ординат знайти точку, що рівновіддалена від точок A(1;-3;7) i B(5;7;-5).

Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах якщо .

Дано трикутник з вершинами в точках: А(1;1;-2), В(3;2;1), С(2;4;-1). Знайти внутрішній кут при вершині В і проекцію вектора на вектор .

Дано вершини трикутника A(2;-1;4), B(3;2;-6) i C(-5;0;2). Знайти довжину його медіани, проведеної з вершини А.

Знайти координати вектора якщо він перпендикулярний векторам утворює з ортрм тупий кут і .

Розкласти вектор по векторах .

Виразити вектори через вектори  .

Дано піраміду з вершинами A1(7,7,3), A2(6,5,8), A3(3,5,8), A4(8,4,1). Знайти: об'єм піраміди; кут між ребрами  A1A2  i  A1A3; рівняння площини, що проходить через пряму A1A2 і точку  A4; рівняння висоти піраміди, опущеної з точки A3 на  площину  A1A2A4.

Знайти вектор направлений по бісектрисі кута між векторами якщо .