Показати, що вектори утворюють базис, і знайти розклад вектора по базису .

Задані чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD.  Довести, що .

Яким умовам мають задовільняти вектори  щоб мали місце наступні співвідношення : а)  б)  в) .

Знайти довжину вектора якщо - ортогональні орти.

Пряма, що проходить через середини M i N протилежних сторін AB i CD чотирикутника ABCD, проходить через точку перетину О його діагоналей. Довести, що чотирикутник - трапеція або паралелограм.

Вектори утворюють кут 120^о і Обчислити .

Дано два трикутники і Виразити вектор що з'єднує точки перетину медіан цих трикутників через вектори .

Задані координати чотирьох точок у просторі A₁(2;3;1), A₂(4;1;-2), A₃(6;3;7), A₄(-5;-4;8). Необхідно: 1) записати вектори у базисі знайти модулі цих векторів і їх напрямні косинуси; 2) знайти косинус кута між векторами 3) знайти проекцію вектора на напрям вектора 4) довести неколінеарність векторів знайти площу трикутника A₁A₂A₃ , його висоту з вершини A₂ ; 5) довести некомпланарність векторів знайти об'єм піраміди A₁A₂A₃A₄, її висоту з вершини A₄ на грань A₁A₂A₃.

ABCDEF - правильний шестикутник, причому . Виразити через вектори , і .

Дано вектори де - базис. Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора у базисі .

Задана трійка векторів Довести, що ця трійка векторів утворює базис в V₃. Обчислити координати вектора в цьому базисі.

 медіани трикутника ABC.  Виразити через  вектори .

Точки K i L є серединами сторін  паралелограма ABCD. Виразити вектори через вектори .

На стороні АВ трикутника АВС взято точку D так, що пряма CD - бісектриса кута при вершині С. Виразити через  наступні вектори: .

Написати загальне рівняння площини, яка проходить через точку P(-1;2;2), паралельно векторам .

Виразити вектори через вектори  .

Знайти значення параметра для яких вектори лінійно незалежні.

Задані вершини трикутника A(2;-3;4), B(5;-1;-2), C(4;-2;5). Скласти параметричне рівняння його медіани CD.

Нехай Довести, що вектори є базисом у просторі, знайти координати вектора в цьому базисі.

Нехай задано вектори  в деякому векторному базисі . Знайти координати лінійної комбінації .

Дано правильний шестикутник ABCDEF. Взявши за базисні вектори , знайти в цьому базисі координати векторів .

Нехай Знайти:  а) б)  в)  пр г)  пр д) е)  .

Задано тетраедр OABC. В базисі з ребер знайти координати : а) вектора  де D i E - середини ребер  б) вектора  де F - точка перетину медіан основи.

Дано вектори де вектори - базис. Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора у базисі .

Задана трійка векторів Довести, що ця трійка векторів утворює базис у V₃. Обчислити координати вектора у цьому базисі.

Задані два неколінеарні вектори Знайти вектор який задовільняє такі умови: а) вектори  - компланарні;  б)  .

Поза площиною паралелограма ABCD взято точку О.  В базисі з векторів  знайти координати: а) вектора  де М - точка перетину діагоналей паралелограма; б) вектора  де K - середина сторони AD.

Довжини базисних векторів загальної декартової системи координат у просторі дорівнюють відповідно кути між базисними векторами дорівнюють Обчислити довжини векторів і кут між ними, які в заданому базисі мають координати {2;1;-1} та {-3;-1;1} відповідно.

Доповнити вектори до ортогонального базису простору .

Перевірити, що вектори утворюють ортогональний базис простору .  Знайти координати вектора в цьому базисі.