Написати рівняння прямої x-y+5=0 у новій афінній системі координат, в якій вісь O'x' співпадає з прямою x+y-4=0, вісь O'y' - з прямою 2x-y+7=0, а точка, для якої x'=1, y'=1, знаходиться у початку старої системи координат.

В трапеції ABCD задане відношення основ |AD|:|BC|=a:b. Діагоналі AC i BD перетинаються в точці O. Знайти відношення площі трикутника AOD до площі трапеції.

Знайти формули перетворення симетрії відносно площини, що визначається рівнянням .

Відображення задане у декартових координатах формулами: З'ясувати вид даного перетворення.

Задано правильний шестикутник ABCDEF, М - середина діагоналі АС, N - середина сторони DE. Довести, що трикутник MNF правильний.

В середині квадрата ABCD розміщений інший квадрат A₁B₁C₁D₁. Довести, що точки A₀, B₀, C₀, D₀ - середини відповідних відрізків AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ - теж є вершинами деякого квадрата.

Довести, що точки, симетричні ортоцентру трикутника відносно його сторін, лежать на колі яке описане навколо цього трикутника.

Знайти формули перетворення координат точок (в декартовій прямокутній системі) при осьовій симетрії відносно прямої m, заданої рівнянням 2x+4y+5=0.

Написати формули, що виражають симетрію відносно прямої, заданої рівнянням .

Афінне перетворення площини задано формулами .  Знайти : а) координати точки - образу точки А(1; 0);  б) координати точки В - прообразу   ;  в)  формули перетворення, оберненого заданому; г)  рівняння прямої , на яку відображається пряма .

Афінне перетворення площини на себе задано трьома парами точок і їх образів :  i   .  Знайти аналітичне задання цього перетворення. 

Знайти аналітичне задання перспективно-афінного перетворення площини на себе, яке переводить вісь Ox  в пряму  а вісь Oy - у пряму .

Через точку Q, яка лежить на діагоналі АС паралелограма ABCD, проведена прямв m, паралельна (АВ). Прzма m перетинає сторону ВС в точці R. Довести, що площі трикутників ABR і ADQ рівні.

В трапеції ABCD AD i BC - основи, причому |AD|:|BC| = a:b. Діагоналі AC i BD перетинаються в точці O. Знайти відношення площі трикутника AOD до площі трапеції ABCD.

На сторонах AB, BC, CA трикутника ABC взяті відповідно точки C₁ i C₂, A₁ i A₂, B₁ i B₂ так, що (A₂B₁)||(AB), (B₂C₁)||(BC), (C₂A₁)||(CA). Довести, що площі трикутників A₁B₁C₁ i A₂B₂C₂ рівні.

В прямокутній системі координат на площині задані вектори і точки .  Необхідно знайти:  а) матрицю переходу від стандартного базису до базису ;  б) орієнтацію базису ;  в) матрицю переходу від стандартного базису  до базису ;  г) матрицю переходу від базису  до базису ;  д) координати вектора у базисі  ;  e) координати точки А в системі координат  .

Відомі координати точок А(7, -1) і О'(8, 6)  у прямокутній системі координат на площині. Знайти координати точки А в прямокутній системі координат отриманої за допомогою дзеркального відображення  відносно деякої прямої системи .

В прямокутній системі координат задані точки  Q(2,1),  A(6,4),  B(-2,4),  Q'(10,3),  A'(10,5),  B'(6,6),  X(2,7).  Необхідно вивести формули аффінного перетворення A,  яке відображає точки Q, A, B  в точки Q', A', B',  і знайти координати образу точки X:  а) в системі координат б) в заданій прямокутній системі координат.

На координатній площині Oxy відмічено точку А(4; -3). Знайти:  а)  полярні координати точки А' - образу точки А при повороті радіус-вектора на кут навколо початку координат;  б) полярні координати точки ,  образу точки А при інверсії площини відносно кола одиничного радіусу з центром у початку координат.

На площині дано два базиси пов'язані співвідношеннями Знайти розклад вектора по базису і розклад вектора по базису .

Скласти рівняння гіперболи в системі координат, осями якої є асимптоти гіперболи.

На площині задані дві системи координат Початок другої системи координат має у першій системі координати (1;2), а базисні вектори другої системи мають в базисі першої системи координати (3;5) і (4;7) відповідно. 1) Знайти координати точки в першій системі, якщо відомі її координати у другій системі координат; 2) Знайти координати точки у другій системі, якщо відомі її координати у першій системі координат;  3) Знайти координати точки О у другій системі координат векторів у базисі другої системи координат.

На площині дано дві ортогональні системи координат Початок другої системи координат має у першій системі координати (2;3), а базисні вектори другої системи отримані з базисних векторів першої поворотом проти годинникової стрілки на кут Пряма задана  в першій системі координат рівнянням Знайти рівняння цієї прямої в другій системі координат.

У довільній афінній системі координат OE на площині дані рівняння прямих, які перетинаються: і точка E(x₀,y₀), яка не лежить на жодній з цих прямих. Приймаючи ці прямі відповідно за вісь ординат і вісь абсцис нової системи координат і вважаючи, що в новій системі координати точки Е рівні (1;1), знайти вираження нових координат (x', y') довільної точки через її старі координати.

Знайти афінне відображення, яке переводить точки A₁(1;3), A₂(2;1), A₃(3;3) відповідно в точки A'₁(0;3), A'₂(3;2), A'₃(2;5).

Знайти афінне перетворення, яке переводить точки A₁(1;3), A₂(2;1), A₃(3;3) відповідно в точки A'₁(0;3), A'₂(3;2), A'₃(2;5).

Афінне відображення відображає точки A(0;0), B(1;3), C(2;4) відповідно в точки A'(-1;2), B'(3;0), C'(5;3). Знайти образ точки D(1;-1) при відображенні .

Дано афінні перетворення де і де Знайти формули афінного перетворення .