Перевірити, що точка O'(1;3;-1) і вектори визначають у просторі афінну сиситему координат. Знайти координати точок P(0;3;26), Q(6;5;-22), S(2;3;-2) в новій системі координат.

Дано чотири точки A, B, C, D. Точки M i N - середини відрізків AC i BD. Довести, що .

Задані координати вершин піраміди Необхідно знайти: 1) довжину ребра А₁А₂; 2) кут між ребрами А₁А₂ і А₁А₄; 3) кут між ребром А₁А₄ і гранню А₁А₂А₃; 4) площу грані А₁А₂А₃; 5) об'єм піраміди;  6) рівняння прямої А₁А₂;  7) рівняння площини А₁А₂А₃; 8) рівняння висоти, опущеної з вершини А₄ на грань А₁А₂А₃. Зробити малюнок, якщо А₁(1;2;1), А₂(3;-1;7), А₃(2;0;2), А₄(7;4;-2).

Задані вершини А(2;-3), В(-4;1), С(12;5) трикутника АВС. Необхідно знайти: 1) рівняння сторони АВ;  2) рівняння висоти СН і довжину цієї висоти;  3) рівняння медіани АМ;  4) точку N перетину медіани АМ і висоти СН;  5) рівняння прямої, паралельної стороні АВ і яка проходить через вершину С;  6) внутрішній кут пи вершині А і зовнішній кут при вершині С.

Задані координати вершин піраміди ABCD: A(-2;0;-1); B(0;0;4); C(1;3;2); D(3;2;7). Знайти:

1) довжину ребра АВ; 2) кут між ребрами АВ і AD;
3) рівняння площини АВС та кут між нею і ребром AD;
4) площу грані АВС; 5) об'єм піраміди;
6) рівняння і довжину висоти, опущеної з вершини D на грань АВС;
7) рівняння площини, яка проходить через висоту піраміди, опущеної з вершини D на грань АВС і вершину А піраміди.

Дані вектори Знайти: а) б) в) пр г) орт вектора .

За координатами точок А(1,-1,2), В(1,4,-3), С(5,1,0) визначити: модуль вектора скалярний добуток векторів проекцію вектора на вектор координати точки М, яка ділить відрізок l = AB у відношенні 1:3.

Нехай АВС - довільний трикутник, AA₁, BB₁ i CC₁ - його медіани. Взявши вектори відповідно за базисні знайти координати векторів .

Задана прямокутна трапеція ABCD, довжини основ якої AD i DC відповідно рівні 4 і 2, а кут D рівний 45^о. Знайти проекції векторів на вісь l, яка визначається вектором .

Знайти центр ваги однорідного стержня, зігнутого під деяким кутом, якщо довжини його частин рівні відповідно a i b.

У прямокутній декартовій системі координат задані дві точки A(1,2,-3) i B(0,-4,5). Знайти на осі Ox таку точку C(x;0;0), щоб площа трикутника ABC була рівна 1,5 квадратних одиниць.

Довести, що відрізки, які сполучають вершини трикутної піраміди з центрами протилежних граней, перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.

У трикутнику АВС відомі сторони a, b, c  і медіани p, q, l. Довести рівність: .

Задано вектори Довести, що вони утворюють базис. Розкласти вектор за даним базисом.

Дано тетраедр OABC, A', B', C', O' - центриваги його граней OBC, OAC, OAB i ABC. Знайти, яку частину об'єму тетраедра OABC становить об'єм тетраедра O'A'B'C'.

Побудувати трикутник, якщо задані середини його сторін: M₁, M₂, M₃.

У трикутнику ABC на сторонах AB i BC вибрано точки K та L так, що AK=2KB, BL=LC? а також проведено вдрізки AL i CK, які перетинаються у точці D. У якому відношенні точка D ділить дані відрізки?

У паралелограмі ABCD точки E і F середини відповідно сторін BC i DC. Довести, що прямі AE i AF ділять BD на три рівні частини.

Задані два вектори які мають наступні проекції на координатні осі: a_x=-1; a_y=6; a_z=2; b_x=4; b_y=3; b_z=-6. Знайти скалярний добуток векторів кут між цими векторами і проекцію вектора a на вектор b.

Точки поділяють сторони трикутника ABC у відношенні m:n. Довести, що центри мас трикутників АВС і А₁В₁С₁ співпадають.

Знаючи вершину А(1; 1; 1) квадрата ABCD, його центр О(0; 0; 0) і вектор  перпендикулярний площині квадрата, знайти решту його вершин.

Дано вершини тетраедра A(0; 0; 0), B(1; -3; 0), C(1; 2; 0), D(0; 0; 5).  Знайти довжину висоти цього тетраедра, проведеної з вершини А.

У трапеції KLMN з основами KN>LM відомо, що LM/KN = t. Обчислити координати вектора у базисі B={ , якщо А - точка перетину діагоналей трапеції, .

Через точку Q перетину медіан трикутника АВС проведено пряму l, яка перетинає сторони СА і СВ відповідно в точках Довести, що .

Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах якщо .

Дано Знайти: кут між векторами m+n та -m+n.

Знайти відстань від точки до площини, яка проходить через три точки .

Знайти координати точки А(0,y,0), рівновіддаленої від точок В(7,3,-4) і С(1,5,7).

Знайти косинус кута між векторами якщо А(1,-1,0), В(-2,-1,4), С(8,-1,-1).

Знайти кут між площинами .